Introduzione ARIMA nonseasonal models. ARIMA p, d, q equazione previsione modelli ARIMA sono, in teoria, la classe più generale di modelli per prevedere una serie temporale che può essere fatto per essere stazionaria differenziazione se necessario, magari in combinazione con trasformazioni non lineari come ad esempio la registrazione o sgonfiando se necessario una variabile casuale che è una serie temporale è stazionaria se le sue proprietà statistiche sono tutte costanti nel tempo una serie stazionaria è nessuna tendenza, le sue variazioni intorno al suo medio di avere una ampiezza costante, e dimena in modo coerente cioè suoi schemi temporali casuale breve termine sempre lo stesso aspetto in senso statistico quest'ultima condizione implica che le sue autocorrelazioni correlazioni con le proprie precedenti deviazioni dalla media rimangono costanti nel tempo, o equivalentemente, che il suo spettro di potenza costante nel tempo comunque a variabile di questo modulo può essere visto come al solito come una combinazione di segnale e rumore, e il segnale se risulta potrebbe essere un modello di reversione veloce o lento medio, o oscillazione sinusoidale, o rapida alternanza di segno, e potrebbe anche avere un modello ARIMA componente stagionale può essere visto come un filtro che cerca di separare il segnale dal rumore, e il segnale viene poi estrapolato nel futuro per ottenere equazione previsione forecasts. The ARIMA per una serie temporale stazionaria è lineare cioè regression - tipo di equazione in cui i predittori consistono ritardi della variabile dipendente e o ritardi di errori di previsione Tale valore is. Predicted di Y una costante eo una somma pesata di uno o più valori recenti di Y eo una somma pesata di uno o i valori più recenti del errors. If predittori consistono solo di valori ritardati di Y è un modello di auto-regredito autoregressiva pura, che è solo un caso particolare di un modello di regressione e che potrebbe essere dotato di un software di regressione standard per esempio, un primo ordine autoregressivo AR 1 modello per Y è un modello di regressione semplice in cui la variabile indipendente è solo Y ritardato da un GAL periodo Y, 1 in Statgraphics o YLAG1 in RegressIt Se alcuni dei fattori predittivi sono ritardi degli errori, un modello ARIMA nON è un modello di regressione lineare, perché non c'è modo di specificare l'errore all'ultimo periodo s come una variabile indipendente gli errori devono essere calcolati su base periodica-to-periodo in cui il modello è montato i dati da un punto di vista tecnico, la problema con l'utilizzo errori ritardati come predittori è che il modello s previsioni non sono funzioni lineari dei coefficienti, anche se sono funzioni lineari di dati passato Quindi, i coefficienti nei modelli ARIMA che includono errori ritardati deve essere stimato con metodi di ottimizzazione non lineare in salita piuttosto che semplicemente risolvere un sistema di equations. The acronimo ARIMA acronimo di Moving Auto-regressiva integrato ritardi medi della serie stationarized nell'equazione di previsione sono chiamati termini autoregressivi, ritardi degli errori di previsione sono chiamati in movimento termini medi, e una serie temporale che deve essere differenziata da effettuare stazionaria si dice che sia una versione integrata di una serie stazionaria random walk e casuale di tendenza modelli, modelli autoregressivi, e modelli di livellamento esponenziale sono tutti i casi particolari di ARIMA models. A nonseasonal modello ARIMA è classificato come p ARIMA, d, q modello, where. p è il numero di terms. d autoregressivo è il numero di differenze non stagionali necessari per la stazionarietà, and. q è il numero di errori di previsione ritardati nell'equazione previsione equation. The previsione è costruito come segue prima, Y il d th differenza di Y che means. Note che la seconda differenza di Y caso d 2 non è la differenza tra 2 periodi ago piuttosto, è la prima differenza-of-the-first differenza che è l'analogo discreto di una derivata seconda, cioè l'accelerazione locale della serie piuttosto che i termini trend. In locali y l'equazione generale previsione is. Here i parametri media mobile s sono definiti in modo tale che i loro segni sono negativi nel equazione, seguendo la convenzione introdotta da Box e Jenkins Alcuni autori e software, tra cui il linguaggio di programmazione R definirli in modo che abbiano il segno più invece Quando i numeri reali sono inseriti nell'equazione, non c'è ambiguità, ma è importante sapere quale convenzione il software utilizza quando si sta leggendo l'uscita Spesso i parametri sono indicati lì da AR 1, AR 2, e MA 1, MA 2, etc. To identificare il modello ARIMA appropriato per Y si inizia determinando l'ordine di differenziazione d bisogno per stationarize la serie e rimuovere le caratteristiche lordo di stagionalità, forse in concomitanza con una trasformazione di varianza-stabilizzazione, come la registrazione o sgonfiando Se ci si ferma a questo punto e prevedere che la serie differenziata è costante, si è semplicemente montato un random walk o casuale modello di tendenza Tuttavia, la serie stationarized potrebbe ancora essere autocorrelato errori, il che suggerisce che un numero di termini AR p 1 e o alcuni termini MA numero q 1 sono necessari anche nel processo equation. The previsione di determinare i valori di p, d, e q che sono i migliori per una data serie di tempo saranno discussi nelle sezioni successive di note i cui collegamenti sono in cima a questa pagina, ma l'anteprima di alcuni dei tipi di modelli ARIMA non stagionali che sono comunemente riscontrato è dato below. ARIMA 1 , 0,0 primo ordine modello autoregressivo se la serie è fermo e autocorrelato, forse può essere previsto come multiplo del proprio valore precedente, più una costante l'equazione di previsione in questo caso is. which è Y regredito su se stessa ritardato dal un periodo Questo è un modello costante ARIMA 1,0,0 Se la media di Y è zero, allora il termine costante non sarebbe included. If il coefficiente di pendenza 1 è positivo e meno di 1 grandezza si deve essere inferiore a 1 magnitudine se Y è fermo, il modello descrive significare-ritornando comportamento in cui il valore prossimo periodo s dovrebbe essere previsto per essere 1 volte più lontano dalla media come valore di questo periodo s Se 1 è negativa, predice significare-ritornando comportamento con alternanza di segni, cioè prevede anche che Y sarà al di sotto del prossimo periodo media se è superiore alla media questo period. In un autoregressivo modello di secondo ordine ARIMA 2,0,0, ci sarebbe un termine Y t-2 sulla destra così, e così via seconda dei segni e grandezze dei coefficienti, un modello ARIMA 2,0,0 poteva descrivere un sistema il cui reversione medio avviene in modo sinusoidale oscillante, come il moto di una massa su una molla che viene sottoposto a casaccio shocks. ARIMA 0,1,0 random walk Se la serie Y non è fermo, il modello più semplice possibile è un modello casuale, che può essere considerato come un caso limite di un modello AR 1 in cui la coefficiente autoregressivo è uguale a 1, serie IEA con infinitamente lenta mean reversion l'equazione di previsione per questo modello può essere scritto as. where il termine costante è la media cambiamento periodo a periodo cioè a lungo termine deriva in Y questo modello potrebbe essere montato come un modello di regressione non intercetta, in cui la prima differenza di Y è la variabile dipendente Dal momento che include solo una differenza non stagionale e di un termine costante, è classificato come un modello ARIMA 0,1,0 con costante l'random-walk senza - drift modello sarebbe un modello ARIMA 0,1,0 senza constant. ARIMA 1,1,0 differenziato primo ordine modello autoregressivo Se gli errori di un modello random walk sono autocorrelati, forse il problema può essere risolto con l'aggiunta di un ritardo della variabile dipendente per l'equazione di previsione - cioè regredendo la prima differenza di Y su se stessa ritardato di un periodo Questo produrrebbe la seguente previsione equation. which possono essere riorganizzate to. This è un modello autoregressivo del primo ordine con un ordine di differenziazione non stagionale e di un termine costante - vale a dire un ARIMA 1,1,0 model. ARIMA 0,1,1 senza costante semplice esponenziale Un'altra strategia per correggere gli errori autocorrelati in un modello random walk è suggerito dalla semplice modello esponenziale Ricordiamo che smoothing per alcuni non stazionari ad esempio quelli di serie temporali che presentano fluttuazioni rumorosi intorno un lentamente variabile medio, il modello random walk non esegue così come una media mobile dei valori passati in altre parole, invece di prendere l'osservazione più recente come la previsione della successiva osservazione, è meglio usare una media degli ultimi osservazioni al fine di filtrare il rumore e più accuratamente stima media locale il modello esponenziale semplice utilizza una media mobile esponenziale ponderata dei valori del passato per ottenere questo effetto l'equazione di previsione per il semplice modello di livellamento esponenziale può essere scritto in un certo numero di forme matematicamente equivalenti, uno dei quali è il cosiddetto errore di forma di correzione, in cui la precedente previsione viene regolata nella direzione dell'errore esso made. Because e t-1 Y t-1 - t-1 per definizione, questo as. which può essere riscritta è un 0,1,1 ARIMA - senza costante equazione di previsione con 1 1 - questo significa che è possibile montare un semplice livellamento esponenziale specificando come un ARIMA 0,1,1 modello senza costante, e la stima del coefficiente di MA 1 corrisponde a 1-meno-alfa nella formula Ricordiamo SES che nel modello SES, l'età media dei dati nelle previsioni 1-periodo-avanti è 1 il che significa che essi tenderanno a restare indietro tendenze o punti di svolta da circa 1 periodi Ne consegue che l'età media dei dati nelle previsioni 1-periodo-prima di un modello ARIMA 0,1,1 - senza-costante è 1 1 - 1 Così, per esempio, se 1 0 8, l'età media è 5 come 1 avvicina 1, il modello ARIMA 0,1,1 - senza costante diventa un-molto-lungo termine media mobile, e come 1 si avvicina a 0 diventa un random walk-senza-drift model. What s il modo migliore per correggere autocorrelazione aggiunta termini AR o aggiungendo termini MA nelle precedenti due modelli di cui sopra, il problema degli errori autocorrelati in un modello casuale è stato risolto in due modi diversi con l'aggiunta di un valore ritardato della serie differenziata per l'equazione o l'aggiunta di un valore ritardato del errore di previsione quale approccio è meglio una regola empirica per questa situazione, che sarà discusso più dettagliatamente in seguito, è che autocorrelazione positiva è solito è meglio trattata con l'aggiunta di un termine di AR al modello e negativo autocorrelazione di solito è meglio trattata con l'aggiunta di un termine di Master in affari e serie storiche economiche, autocorrelazione negativa si pone spesso come un artefatto di differenziazione In generale, differenziazione riduce autocorrelazione positiva e può anche causare un interruttore da positivo a negativo autocorrelazione Così, il modello ARIMA 0,1,1, in cui differenziazione è accompagnato da un termine di MA, è più spesso utilizzato che un ARIMA 1,1,0 model. ARIMA 0,1,1 con costante semplice livellamento esponenziale con la crescita Implementando il modello SES come modello ARIMA, in realtà guadagna certa flessibilità Prima di tutto, la stima coefficiente MA 1 è permesso di essere negativo questo corrisponde ad un fattore di livellamento maggiore di 1 in un modello SES, che è di solito non consentito dalla SES modello di raccordo procedura secondo luogo, si ha la possibilità di includere un termine costante nel modello ARIMA se lo si desidera, al fine di stimare un non-zero tendenza media il modello ARIMA 0,1,1 con costante ha la previsione equation. The previsioni a un periodo di vantaggio di questo modello sono qualitativamente simili a quelle del modello SES, tranne che la traiettoria delle previsioni a lungo termine è tipicamente una linea obliqua cui pendenza è uguale mu piuttosto che una linea orizzontale. ARIMA 0,2,1 o 0,2,2 senza esponenziale smoothing lineari modelli esponenziale di livellamento lineare costante sono modelli ARIMA che utilizzano due differenze non stagionali in collaborazione con termini MA la seconda differenza di una serie Y non è semplicemente la differenza tra Y e si ritardato da due periodi, ma piuttosto è la prima differenza della prima differenza --ie il cambiamento-in-the-cambiamento di Y al periodo t Così, la seconda differenza di Y al periodo t è pari a Y t - Y t-1 - Y t-1 - Y t-2 Y t - 2Y t-1 Y t-2 una seconda differenza di una funzione discreta è analoga ad una derivata seconda di una funzione continua misura l'accelerazione o la curvatura nella funzione in un determinato punto in time. The ARIMA 0,2,2 modello senza costante prevede che la seconda differenza della serie è uguale a una funzione lineare degli ultimi due errors. which previsione può essere riorganizzate as. where 1 e 2 sono i MA 1 e MA 2 coefficienti Si tratta di un modello di livellamento esponenziale lineare generale essenzialmente lo stesso modello di Holt s, e il modello di Brown s è un caso speciale Esso utilizza in modo esponenziale ponderata medie mobili di stimare sia a livello locale e una tendenza locale nella serie il lungo le previsioni termine da questo modello convergono ad una retta la cui pendenza dipende dalla tendenza media osservata verso la fine del series. ARIMA 1,1,2 senza un costante smorzata-trend lineare smoothing. This esponenziali modello è illustrato nelle slide di accompagnamento su Arima modelli si estrapola la tendenza locale alla fine della serie, ma si appiattisce fuori a orizzonti di previsione più lunghi di introdurre una nota di conservatorismo, una pratica che ha supporto empirico Vedi l'articolo sul perché il Damped Trend opere di Gardner e McKenzie e la regola d'oro articolo di Armstrong ed altri per details. It è in genere consigliabile attenersi a modelli in cui almeno uno dei p e q non è maggiore di 1, vale a dire non cercare di adattarsi a un modello come ARIMA 2,1,2, in quanto questo rischia di portare a problemi overfitting e comune fattore che vengono discussi in modo più dettagliato nelle note sulla struttura matematica dei modelli ARIMA implementazione ARIMA models. Spreadsheet come quelli sopra descritti sono facili da implementare su un foglio di calcolo l'equazione di previsione è semplicemente un equazione lineare che fa riferimento ai valori passati della serie storica originale e valori del passato degli errori Così, è possibile impostare un foglio di calcolo di previsione ARIMA memorizzando i dati nella colonna a, la formula di previsione nella colonna B, e le previsioni di errori dei dati meno nella colonna C la formula di previsione in una tipica cellula in colonna B sarebbe semplicemente un'espressione lineare riferimento ai valori precedenti in file di colonne a e C, moltiplicata per i coefficienti appropriati AR o MA memorizzati nelle celle altrove sul spreadsheet.2 1 modello a media mobile I modelli della serie MA models. Time noti come modelli ARIMA possono includere termini autoregressivi e o in movimento termini medi in settimana 1, abbiamo imparato un termine autoregressivo in un modello di serie per la xt variabile è un valore ritardato di xt per esempio, un ritardo di 1 autoregressivo termine è x T-1, moltiplicato per un coefficiente Questa lezione definisce lo spostamento terms. A media mobile media termine in un modello di serie storica è un errore di passato moltiplicato per un coefficient. Let wt overset N 0, sigma 2W, il che significa che il peso sono identicamente , indipendentemente distribuite, ciascuna con una distribuzione normale con media 0 e lo stesso variance. The 1 ° ordine modello a media mobile, indicato con MA 1 è. xt mu WT theta1w. The fine 2 ° modello a media mobile, indicato con MA 2 è. mu XT WT theta1w theta2w. The q ° ordine modello a media mobile, indicato con MA q è. mu XT WT theta1w theta2w punti thetaqw. Note Molti libri di testo e dei programmi software definiscono il modello con segni negativi prima dei termini Questo doesn t cambiare le proprietà teoriche generali del modello, anche se lo fa capovolgere i segni algebrici di valori dei coefficienti stimati ei termini unsquared in formule per ACFS e varianze È necessario controllare il software per verificare se vi siano segni negativi o positivi sono stati utilizzati al fine di scrivere correttamente il modello stimato R utilizza segnali positivi nel suo modello di base, come facciamo here. Theoretical proprietà di una serie storica con un MA 1 Model. Note che l'unico valore diverso da zero nella ACF teorico è di lag 1 Tutti gli altri autocorrelazioni sono 0 Quindi un ACF campione con un autocorrelazione significativo solo in caso di ritardo 1 è un indicatore di un possibile MA 1 studenti model. For interessati, prove di queste proprietà sono in appendice a questo handout. Example 1 Supponiamo che un modello MA 1 è xt 10 in peso di 7 w Così il coefficiente 1 0 7 l'ACF teorico è dato t-1 in cui WT overset N 0,1 by. A trama di questa trama ACF follows. The appena mostrato è l'ACF teorico per un Master 1 con 1 0 7 In pratica, un campione ha vinto t di solito forniscono un modello così chiara utilizzando R, abbiamo simulato n 100 valori di esempio utilizzando il modello XT 10 WT 7 w t-1 dove w t. iid N 0,1 per questa simulazione, un appezzamento serie storica dei dati campione segue possiamo t dire molto da questo plot. The campione ACF per i dati simulati segue vediamo un picco al ritardo 1 seguito da valori generalmente non significativi per i ritardi del passato 1 Nota che il campione ACF non corrisponde al modello teorico del MA sottostante 1, vale a dire che tutte le autocorrelazioni per i ritardi del passato 1 sarà 0 un campione diverso avrebbe un po 'diverso ACF campione mostrato di seguito, ma sarebbe probabilmente hanno le stesse proprietà ampio features. Theroretical di una serie storica con un mA 2 Model. For il modello mA 2, proprietà teoriche sono il following. Note che gli unici valori diversi da zero nel ACF teorica sono per ritardi 1 e 2 autocorrelazioni per ritardi maggiori sono 0 Quindi, un ACF campione con autocorrelazioni significativi a ritardi 1 e 2, ma autocorrelazioni non significativi ritardi più elevato indica una possibile mA 2 model. iid N 0,1 I coefficienti sono 1 0 5 e 2 0 3 Poiché si tratta di un Master 2, la ACF teorica avrà valori diversi da zero solo in GAL 1 e 2.Values dei due autocorrelazioni non nulle are. A trama del ACF teorica follows. As quasi sempre è il caso, i dati di esempio ha vinto t comportarsi in modo del tutto così perfettamente come la teoria abbiamo simulato n 150 valori di esempio per il modello XT 10 in peso di 5 w t-1 3 w t-2 dove w t. iid n 0,1 la trama serie storica dei dati segue come con la serie storica Prodotti per i dati di esempio MA 1, è possibile t dire molto da it. The ACF campione per i dati simulati segue il modello è tipico per le situazioni in cui un modello MA 2 può essere utile ci sono due picchi statisticamente significative a ritardi 1 e 2 seguiti da valori non significativi per altri GAL si noti che a causa di errore di campionamento, l'ACF campione non corrisponde al modello teorico exactly. ACF per general MA q Models. A proprietà di modelli q MA, in generale, è che ci sono autocorrelazioni diversi da zero per la prima GAL Q e autocorrelazioni 0 per tutti i GAL q. Non-unicità di collegamento tra i valori di 1 e rho1 in MA 1 Model. In il modello MA 1, per ogni valore di 1 reciproco 1 1 dà lo stesso valore for. As un esempio , usare 0 5 per 1 e quindi utilizzare 1 0 5 2 per 1 si otterrà rho1 0 4 sia instances. To soddisfare una restrizione teorica chiamato invertibilità abbiamo limitare MA 1 modelli di avere valori con valore assoluto inferiore a 1 nell'esempio appena data, 1 0 5 sarà un valore di parametro ammissibile, mentre 1 1 0 5 2 sarà not. Invertibility del modello mA models. An mA si dice che sia invertibile se è algebricamente equivalente a un modello AR ordine infinito convergenti da convergenti, abbiamo significa che i coefficienti AR diminuiscono a 0, mentre ci muoviamo nel time. Invertibility è una restrizione programmato nel software di serie storiche utilizzate per stimare i coefficienti di modelli con termini MA non s qualcosa che controlliamo per l'analisi dei dati Ulteriori informazioni sul restrizione invertibilità per modelli MA 1 è riportata nella appendix. Advanced teoria Note per un modello MA q con un determinato ACF, c'è solo un modello invertibile la condizione necessaria per invertibilità è che i coefficienti hanno valori tali che l'equazione 1- 1 y - - qyq 0 ha soluzioni per y che non rientrano l'unità di codice circle. R per il Examples. In Esempio 1, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello xt 10 WT 7W t-1 e poi simulato n 150 valori da questo modello e tracciato le serie storiche del campione e l'ACF campione per i dati simulati i comandi R utilizzati per tracciare la ACF teorica were. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 ritardi di ACF per mA 1 con theta1 0 7 GAL 0 10 crea una variabile denominata ritardi che spazia 0-10 trama in ritardo, acfma1, XLIM c 1,10, ylab R, tipo h, principale ACF per MA 1 con theta1 0 7 abline h 0 aggiunge un asse orizzontale per il primo comando plot. The determina l'ACF e memorizza in un oggetto denominato acfma1 la nostra scelta di trama name. The il comando 3 ° trame comando ritardi rispetto ai valori ACF per i ritardi da 1 a 10 il parametro ylab etichette l'asse Y e il parametro principale mette un titolo sul plot. To vedere i valori numerici della ACF è sufficiente utilizzare la simulazione acfma1.The di comando e le trame sono state fatte con i seguenti comandi. lista ma c 0 7 Simula n 150 valori da MA 1 x xc 10 aggiunge 10 per rendere medi di default 10 di simulazione per significare 0 plot x, tipo b, principale simulato MA 1 dati ACF x, XLIM c 1,10, principale ACF per simulata campione data. In Esempio 2, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello XT 10 in peso di 5 w t-1 3 w t-2 e poi simulato n 150 valori da questo modello e tracciato le serie temporali del campione e l'ACF campione per la simulata Il dati R comandi utilizzati were. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 ritardo 0 10 trama in ritardo, acfma2, XLIM c 1,10, ylab R, tipo h, principale ACF per mA 2 con theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, tipo b, principale simulato mA 2 Serie ACF x, XLIM c 1,10, principale ACF per simulata mA 2 Data. Appendix prova di proprietà di mA 1.Per gli studenti interessati, ecco le prove per le proprietà teoriche del MA 1 model. Variance testo testo xt mu peso theta1 w 0 testo testo peso theta1w sigma 2W theta 21 sigma 2W 1 theta 21 sigma 2w. When h 1, l'espressione precedente 1 w 2 per ogni h 2, l'espressione precedente 0 la ragione è che, per definizione di indipendenza del peso E wkwj 0 per eventuali ulteriori kj, perché il peso hanno media 0, E wjwj E WJ 2 w 2. per una serie temporale. Applicare questo risultato a ottenere il ACF dato above. An modello MA invertibile è uno che può essere scritta come un modello AR ordine infinito che converge in modo che i coefficienti AR convergono a 0, mentre ci muoviamo infinitamente indietro nel tempo noi ll dimostriamo invertibilità per la MA 1 model. We allora sostituto rapporto 2 per w t-1 nell'equazione 1. 3 zt peso theta1 z - theta1w peso theta1z - theta 2w. At tempo t-2 equazione 2 becomes. We poi rapporto sostituto 4 per w t-2 nell'equazione 3. ZT peso theta1 z - theta 21W peso theta1z - theta 21 Z - theta1w peso theta1z - theta1 2z theta 31w. If dovessimo continuare all'infinito, otterremmo il modello di ordine AR infinita. zt WT theta1 z - theta 21z theta 31Z - theta 41z dots. Note tuttavia, che se 1 1, i coefficienti moltiplicando i ritardi di z aumenterà infinitamente in termini di dimensioni, come ci muoviamo indietro nel tempo per evitare questo, abbiamo bisogno di 1 1 Questa è la condizione per un MA invertibile 1 model. Infinite Order MA model. In settimana 3, ci vedrai che un modello AR 1 può essere convertito in un modello di ordine MA infinita. XT - mu peso phi1w phi phi 21W punti k1 w puntini riassumere phi j1w. This somma dei precedenti termini di rumore bianco è noto come la rappresentazione causale di un AR 1 In altre parole, XT è un tipo speciale di MA con un numero infinito di termini andando indietro nel tempo questo è chiamato un ordine MA infinito o MA un ordine finito MA è un AR ordine infinito ed ogni AR ordine finito è un ordine infinito MA. Recall in settimana 1, abbiamo notato che un requisito per un AR fisso 1 è che 1 1 Sia s calcolare il xt Var utilizzando i representation. This causali ultimo passo utilizza un fatto di base sulla serie geometrica che richiede phi1 1 altrimenti la serie diverges. General modelli ARIMA stagionali 0,1,1 x 0,1,1 etc. Outline di stagionale ARIMA modeling. The parte stagionale di un modello ARIMA ha la stessa struttura della parte non stagionale essa può avere un fattore AR, un fattore mA, e o un ordine di differenze Nella parte stagionali del modello, tutti questi fattori operano a livello multipli di ritardo s il numero di periodi in un modello season. A stagionale ARIMA è classificato come un p ARIMA, d, QX P, d, modello Q, dove il numero P di autoregressive stagionale termini SAR, numero d di differenze stagionali , il numero Q di media mobile stagionali SMA terms. In identificare un modello di stagione, il primo passo è quello di determinare se è necessaria una differenza stagionale, in aggiunta o forse, invece di una differenza non stagionale si dovrebbe guardare a trame di serie temporali e ACF e PACF appezzamenti in tutte le possibili combinazioni di 0 o 1 differenza non stagionale e di 0 o 1 stagionale differenza Attenzione don t uso sempre più di una differenza di stagione, e non più di due differenze totale stagionale e non stagionale combined. If la stagione modello è sia forte e stabile nel tempo, ad esempio alto in estate e basso in inverno, o viceversa, allora probabilmente dovrebbe usare una differenza stagionale indipendentemente dal fatto che si utilizza una differenza non stagionale, dal momento che questo impedirà l'andamento stagionale da morendo nelle previsioni a lungo termine Let s aggiungere questo alla nostra lista di regole per l'identificazione models. Rule 12 Se la serie ha un modello forte e coerente di stagione, quindi si dovrebbe utilizzare un ordine di differenziazione stagionale - ma non usare mai più di un ordine di differenziazione stagionale o più di 2 ordini di differenziazione firma nonseasonal. The stagionale totale di pura SAR o comportamento puro SMA è simile alla firma di puro comportamento MA AR o pura, salvo che il motivo appare attraverso multipli di lag s nel ACF e l'esempio PACF. For, un puro processo di SAR 1 ha picchi nella ACF al GAL s, 2s, 3s, ecc mentre il PACF interrompe dopo lag s. Conversely, un puro processo di SMA 1 ha picchi nel PACF a GAL s , 2s, 3s, ecc mentre l'ACF interrompe dopo lag firma s. An SAR di solito si verifica quando l'autocorrelazione al periodo stagionale è positiv e, mentre una firma SMA di solito si verifica quando l'autocorrelazione stagionale è hence. Rule negativo 13 Se l'autocorrelazione nel periodo stagionale è positivo considerare l'aggiunta di un termine di SAR al modello Se l'autocorrelazione al periodo stagionale è negativo considerare l'aggiunta di un termine di SMA al modello Cercate di evitare di mescolare termini SAR e SMA nello stesso modello, ed evitare di utilizzare più di una di una kind. Usually un termine SAR 1 o SMA 1 è sufficiente raramente si incontra un vero e proprio processo di SAR 2 o SMA 2, e ancor più raramente hanno abbastanza dati per stimare 2 o più coefficienti di stagione senza l'algoritmo di stima entrare in un ciclo di feedback. Anche se un modello ARIMA stagionale sembra avere pochi parametri, ricordate che backforecasting richiede la stima di una o due stagioni vale la pena di parametri impliciti per inizializzare lo Pertanto, si dovrebbe avere almeno 4 o 5 stagioni di dati per adattarsi a un ARIMA stagionale model. Probably il modello ARIMA più comunemente usato stagionale è il modello 0,1,1 x 0,1,1 - vale a dire un MA 1 xSMA 1 modello sia con un bella stagione e una differenza non stagionale Questo è essenzialmente un livellamento esponenziale stagionale modelli ARIMA stagionali model. When sono montati dati registrati, essi sono in grado di tracciare un moltiplicativo revisited. Recall serie pattern. Example stagionale AUTOSALE che abbiamo previsto in precedenza la vendita al dettaglio le vendite di auto di serie, utilizzando una combinazione di deflazione, destagionalizzazione ed esponenziale Let smoothing s ora provare il montaggio della stessa serie con i modelli ARIMA stagionali, utilizzando lo stesso campione di dati da gennaio 1970 al maggio 1993 281 osservazioni come prima lavoreremo con le vendite di auto sgonfi - cioè useremo la serie AUTOSALE CPI come la variabile di ingresso Qui sono le serie storiche di scena e ACF e PACF trame della serie originale, che sono ottenuti nella procedura di previsione tracciando i residui di un 0,0,0 x 0,0,0 modello ARIMA con constant. The modello ponte sospeso in ACF è tipico di una serie che è al tempo stesso non stazionaria e fortemente stagionale Chiaramente abbiamo bisogno di almeno un ordine di differenziazione Se prendiamo una differenza nonseasonal, i corrispondenti trame sono come follows. The differenziata serie i residui di un random walk-con-la crescita modello sembra più o meno stazionaria, ma non vi è ancora molto forte autocorrelazione al periodo di latenza di stagione 12.Because l'andamento stagionale è forte e stabile, sappiamo dalla regola 12 che si desidera utilizzare un ordine di differenziazione stagionale in modello Ecco ciò che il quadro si presenta come dopo una differenza stagionale only. The serie stagionalmente differenziata mostra un forte modello di autocorrelazione positiva, come ricordiamo dal nostro precedente tentativo di adattare un modello random walk stagionale Questo potrebbe essere una firma AR --o potrebbe segnalare la necessità di un altro difference. If prendiamo sia una differenza stagionale e non stagionale, i seguenti risultati sono ottenuti dalla ricerca sono, naturalmente, i residui del modello di tendenza casuale di stagione che abbiamo montato per i dati relativi alle vendite di auto prima vediamo ora negative. What i segni rivelatori di lieve overdifferencing i picchi positivi nella ACF e PACF sono diventati il corretto ordine di differenziazione un altro pezzo di informazione che potrebbe essere utile è un calcolo delle statistiche di errore della serie ad ogni livello di We differenziazione può calcolare questi inserendo i corrispondenti modelli ARIMA in cui solo differenziazione è used. The errori minimi, sia nel periodo di stima e periodo di convalida, sono ottenuti modello a, che utilizza una differenza di ogni tipo Questo, insieme con la comparsa della trame di cui sopra, suggerisce fortemente che si debba utilizzare sia una stagione e una differenza nonseasonal si noti che, fatta eccezione per la costante gratuitious termine, modello a è il modello SRT tendenza casuale di stagione, mentre il modello B è proprio il caso del modello SRW cammino stagionale Come abbiamo notato in precedenza quando si confrontano questi modelli, il modello SRT sembra adattarsi meglio rispetto al modello SRW nell'analisi che segue, cercheremo di migliorare questi modelli, attraverso l'aggiunta di termini stagionali ARIMA Ritorna all'inizio sinistra. L spesso usato ARIMA 0, 1,1 x 0,1,1 modello modello SRT più MA 1 e SMA 1 terms. Returning per l'ultima serie di trame sopra, notare che con una differenza di ogni tipo vi è un picco negativo nel ACF in ritardo 1 e anche un picco negativo nel ACF al ritardo 12 mentre il PACF mostra un pattern decadimento più graduale in prossimità di entrambi questi ritardi applicando nostre regole per identificare modelli ARIMA specificamente, Regola 7 e articolo 13, possiamo ora concludere che il modello SRT sarebbe essere migliorato con l'aggiunta di un termine MA 1 ed anche un termine SMA 1 inoltre, dalla regola 5, escludiamo le costante dal due ordini di differenziazione sono coinvolti Se faremo tutto questo, si ottiene la ARIMA 0,1,1 x 0 , 1,1 modello che è il modello ARIMA stagionale più comunemente usato la sua equazione di previsione is. where 1 è il coefficiente MA 1 e 1 di capitale theta-1 è il coefficiente di SMA 1 si noti che questo è solo il modello di tendenza casuale stagionale immaginato-up aggiungendo multipli degli errori a ritardi 1, 12, e 13 si noti inoltre che il coefficiente di errore di inseguimento-13 è il prodotto della mA 1 e SMA 1 coefficienti Questo modello è concettualmente simile al modello Winters in quanto efficace si applica livellamento esponenziale a livello, del trend e alla stagionalità tutto in una volta, anche se poggia su basi teoriche più solide, soprattutto per quanto riguarda il calcolo intervalli di confidenza per forecasts. Its a lungo termine grafici dei residui in questo caso sono i follows. Although una piccola quantità di autocorrelazione rimane a ritardo di 12, l'aspetto generale delle trame è buona i risultati del modello di montaggio mostrano che il MA stimato 1 e SMA 1 coefficienti ottenuti dopo 7 iterazioni sono infatti significant. The previsioni del modello sono simili a quelle del modello di tendenza casuale stagionale --ie prendono il modello stagionale e la tendenza locale alla fine della serie - ma sono leggermente più dolce aspetto poiché sia l'andamento stagionale e la tendenza sono effettivamente del calcolo della media in una sorta esponenziale-lisciatura della strada sulla ultima pochi seasons. What è questo modello davvero facendo si può pensare che in questo modo in primo luogo si calcola la differenza tra il valore di ogni mese s ed una media storica esponenzialmente ponderata per quel mese che viene calcolata mediante l'applicazione di livellamento esponenziale a valori che sono stati osservati nello stesso mese negli anni precedenti, in cui la quantità di smoothing è determinato dal coefficiente di SMA 1 Poi si applica semplice livellamento esponenziale di queste differenze al fine di prevedere la deviazione dalla media storica che verrà osservato il prossimo mese il valore della SMA 1 coefficiente vicino a 1 0 suggerisce che molte stagioni di dati vengono utilizzati per calcolare la media storica per un dato mese del richiamo anno in cui un coefficiente MA 1 in un modello ARIMA 0,1,1 corrisponde a 1-meno-alfa nel corrispondente modello di livellamento esponenziale, e che l'età media dei dati in un modello di livellamento esponenziale previsione è 1 alfa il coefficiente di SMA 1 ha un'interpretazione simile rispetto alla media attraverso le stagioni Qui il valore di 0 91 suggerisce che l'età media dei dati utilizzata per la stima del modello storico di stagione è un po 'più di 10 anni quasi la metà della lunghezza del set di dati, il che significa che un andamento stagionale quasi costante è stato assunto il valore di molto inferiore di 0 5 per il coefficiente MA 1 suggerisce che relativamente poco smoothing è stato fatto per stimare la deviazione corrente dalla media storica per lo stesso mese, in modo da il mese prossimo s scostamento previsto dalla sua media storica sarà vicino alle deviazioni dalla media storica che sono stati osservati nel corso degli ultimi months. The ARIMA 1 , modello di 0,0 x 0,1,0 con il modello SRW costante più AR 1 term. The modello precedente era un modello stagionale a caso Trend SRT messo a punto con l'aggiunta di MA 1 e SMA 1 coefficienti un modello alternativo ARIMA per questa serie può essere ottenuto sostituendo un termine di AR 1 per la differenza non stagionale - cioè con l'aggiunta di un termine di AR 1 al modello stagionale Random Walk SRW Questo ci permetterà di preservare l'andamento stagionale nel modello, riducendo al contempo la quantità totale di differenziazione, in tal modo aumentando la stabilità delle proiezioni tendenziali se lo si desidera Ricordiamo che con una differenza di stagione da solo, la serie ha mostrato un forte AR 1 firma Se facciamo questo, si ottiene un modello ARIMA 1,0,0 x 0,1,0 con costante, che produce il seguente AR results. The 1 coefficiente è davvero molto significativo, e l'RMSE è a soli 2 06, rispetto ai 3 00 per l'SRW Model B nel rapporto di confronto di cui sopra l'equazione di previsione per questo modello è. Le ulteriore termine su destra-mano-lato è un multiplo della differenza stagionale osservata nell'ultimo mese, che ha l'effetto di correggere le previsioni per l'effetto di un insolitamente buono o cattivo anno Qui 1 indica il coefficiente AR 1, il cui valore stimato è 0 73 Così, ad esempio, se le vendite il mese scorso erano X dollari in vista delle vendite un anno prima, quindi la quantità 0 73X sarebbe aggiunto alla previsione per questo mese indica la costante nell'equazione di previsione, il cui valore stimato è 0 20 la stimato Cioè, il cui valore è 0 75, è il valore medio della serie stagionalmente differenziata, che è la tendenza annua delle previsioni a lungo termine di questo modello la costante è per definizione pari a tempi medi 1 meno il AR 1 coefficiente 0 2 0 75 1 0 73.The trama previsione mostra che il modello fa davvero un lavoro migliore rispetto al modello SRW di tracciare cambiamenti ciclici, vale a dire insolitamente buono o cattivo anni. Tuttavia, il MSE per questo modello è ancora significativamente più grande di quello che abbiamo ottenuto per il ARIMA 0,1,1 x 0,1,1 modello Se guardiamo le trame di residui, si vede margini di miglioramento i residui mostrano ancora qualche segno di ciclica variazione diventa ACF e PACF suggeriscono la necessità per entrambi MA 1 e SMA 1 coefficients. An versione migliorata ARIMA 1,0,1 x 0,1,1 con constant. If abbiamo aggiungere il MA indicato 1 e SMA 1 termini al modello precedente, si ottiene un ARIMA 1,0,1 x 0,1 , 1 modello con costante, la cui previsione di equazioni is. This è quasi lo stesso del modello ARIMA 0,1,1 x 0,1,1 tranne che sostituisce la differenza non stagionale, con un termine di AR 1 una differenza parziale e incorpora una costante termine che rappresenta la tendenza a lungo termine Quindi, questo modello assume un andamento più stabile rispetto al modello ARIMA 0,1,1 x 0,1,1, e questa è la principale differenza tra loro congeniali risultati del modello-montaggio sono i seguenti. Notice che l'AR 1 coefficiente 1 stimato nell'equazione modello è 0 96, che è molto vicino a 1 0 ma non così vicino da suggerire che assolutamente deve essere sostituita con una prima differenza suo errore standard è 0 02 così, si tratta di circa 2 errori standard da 1 0 le altre statistiche del modello della mA stimato 1 e SMA 1 coefficienti e statistiche di errore nei periodi di stima e di validazione sono altrimenti quasi identici a quelli della ARIMA 0,1,1 x 0,1 , 1 modello I coefficienti MA stimato 1 e SMA 1 sono 0 45 e 0 91 in questo modello vs 0 48 e 0 91 nel other. The stima media di 0 68 è l'incremento medio annuo previsto tendenza a lungo termine questo è essenzialmente il stesso valore che è stato ottenuto nel modello 1,0,0 x 0,1,0 - con costante l'errore standard della media stimata è 0 26, per cui la differenza tra 0 e 75 0 68 non è costante significant. If non è stato incluso in questo modello, sarebbe un modello smorzata-tendenza la tendenza nelle sue previsioni a lunghissimo termine sarebbe gradualmente appiattire out. The previsioni puntuali da questo modello di guardare molto simili a quelle del 0,1,1 x 0 , 1,1 modello, perché l'andamento medio è simile alla tendenza locale alla fine della serie Tuttavia, gli intervalli di confidenza per questo modello allargare alquanto meno rapidamente a causa della sua presupposto che la tendenza è comunicazione stabile che i limiti di confidenza per la le previsioni di due anni avanti ora rimanere all'interno delle linee orizzontali della griglia a 24 e 44, mentre quelli del modello 0,1,1 x 0,1,1 fatto not. Seasonal ARIMA rispetto livellamento esponenziale e destagionalizzazione ora s confrontare la le prestazioni dei due migliori modelli ARIMA contro modelli semplici e lineari esponenziale accompagnati da aggiustamento moltiplicativo di stagione, e il modello di Winters, come mostrato nelle diapositive sulla previsione con le statistiche degli errori adjustment. The stagionali per le previsioni di un periodo di libera per tutti i modelli sono molto vicino in questo caso è difficile scegliere un vincitore sulla base di questi numeri da soli Ritorna all'inizio page. What sono i compromessi tra i diversi modelli di stagione i tre modelli che utilizzano moltiplicativo accordo destagionalizzazione con la stagionalità in un fashion-- esplicito vale a dire gli indici stagionali sono suddivisi come una parte esplicita del modello I modelli ARIMA che fare con la stagionalità in un modo più implicito - siamo in grado di t facilmente vedere nell'output ARIMA come la media di dicembre, per esempio, è diversa dalla media di luglio a seconda che si ritiene importante isolare l'andamento stagionale, questo potrebbe essere un fattore nella scelta tra modelli i modelli ARIMA hanno il vantaggio che, una volta che sono stati inizializzati, hanno meno parti mobili rispetto ai modelli di livellamento e regolazione esponenziale e come tali possono be less likely to overfit the data ARIMA models also have a more solid underlying theory with respect to the calculation of confidence intervals for longer-horizon forecasts than do the other models. There are more dramatic differences among the models with respect to the behavior of their forecasts and confidence intervals for forecasts more than 1 period into the future This is where the assumptions that are made with respect to changes in the trend and seasonal pattern are very important. Between the two ARIMA models, one model A estimates a time-varying trend , while the other model B incorporates a long-term average trend We could, if we desired, flatten out the long-term trend in model B by suppressing the constant term Among the exponential-smoothing-plus-adjustment models, one model C assumes a flat trend, while the other model D assumes a time-varying trend The Winters model E also assumes a time-varying trend. Models that assume a constant trend are relatively more confident in their long-term forecasts than models that do not, and this will usually be reflected in the extent to which confidence intervals for forecasts get wider at longer forecast horizons Models that do not assume time-varying trends generally have narrower confidence intervals for longer-horizon forecasts, but narrower is not better unless this assumption is correct. The two exponential smoothing models combined with seasonal adjustment assume that the seasonal pattern has remained constant over the 23 years in the data sample, while the other three models do not Insofar as the seasonal pattern accounts for most of the month-to-month variation in the data, getting it right is important for forecasting what will happen several months into the future If the seasonal pattern is believed to have changed slowly over time, another approach would be to just use a shorter data history for fitting the models that estimate fixed seasonal indices. For the record, here are the forecasts and 95 confidence limits for May 1995 24 months ahead that are produced by the five models. The point forecasts are actually surprisingly close to each other, relative to the widths of all the confidence intervals The SES point forecast is the lowest, because it is the only model that does not assume an upward trend at the end of the series The ARIMA 1,0,1 x 0,1,1 c model has the narrowest confidence limits, because it assumes less time-variation in the parameters than the other models Also, its point forecast is slightly larger than those of the other models, because it is extrapolating a long-term trend rather than a short-term trend or zero trend. The Winters model is the least stable of the models and its forecast therefore has the widest confidence limits, as was apparent in the detailed forecast plots for the models And the forecasts and confidence limits of the ARIMA 0,1,1 x 0,1,1 model and those of the LES seasonal adjustment model are virtually identical. To log or not to log Something that we have not yet done, but might have, is include a log transformation as part of the model Seasonal ARIMA models are inherently additive models, so if we want to capture a multiplicative seasonal pattern we must do so by logging the data prior to fitting the ARIMA model In Statgraphics, we would just have to specify Natural Log as a modeling option--no big deal In this case, the deflation transformation seems to have done a satisfactory job of stabilizing the amplitudes of the seasonal cycles, so there does not appear to be a compelling reason to add a log transformation as far as long term trends are concerned If the residuals showed a marked increase in variance over time, we might decide otherwise. There is still a question of whether the errors of these models have a consistent variance across months of the year If they don t, then confidence intervals for forecasts might tend to be too wide or too narrow according to the season The residual - vs-time plots do not show an obvious problem in this regard, but to be thorough, it would be good to look at the error variance by month If there is indeed a problem, a log transformation might fix it Return to top of page.
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